Kết nối tri thức với cuộc sống

NGUYÊN TẮC GHÉP TRỤC XÉT SỰ BIẾN THIÊN CỦA
HÀM HỢP g = f (u(x))
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm g = f (u(x)), giả sử ta được tập xác định D = (a1 ; a2 ) ∪ (a3 ; a4 ) ∪
. . . ∪ (an−1 ; an ). Ở đây có thể là a1 ≡ −∞; an ≡ +∞.
Bước 2. Xét sự biến thiên của u = u(x) và hàm y = f (x)(bước 2 có thể làm gộp trong bước 3 nếu
nó đơn giản).

x
u = u(x)

a1
u1

b1

b2 · · · bk
g(b2 ) · · ·

g = f (u(x))

a2

···

an−1

an

u2

···

un−1

un

g(u2 )

···

g(un )

g(b1 )
g(u1 )

g(bk )

Cụ thể các thành phần trong BBT như sau
○ Dòng 1. Xác định các điểm kỳ dị của hàm u = u(x), sắp xếp các điểm này theo thứ tăng dần
từ trái qua phải, giả sử như sau: a1 < a2 < . . . < an−1 < an (xem chú ý 1).
○ Dòng 2. Điền các giá trị ui = u(ai ) với (i = 1, n).
Trên mỗi khoảng (ui ; ui+1 ), i = 1,n − 1 cần bổ xung các điểm kỳ dị b1 ; b2 ; . . . ; bk của hàm y =
f (x).
Trên mỗi khoảng (ui ; ui+1 ), i = 1,n − 1 cần sắp xếp các điểm ui ; bk theo thứ tự chẳng hạn:
ui < b1 < b2 < . . . <

Nguyên tắc ghép trục xét sự biến thiên của hàm hợp g = f(u(x))

L HÀM SỐ VD-VDC

Trường PHTP THIÊN ĐÌNH

ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ, GTLN-GTNN
TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM
(VD-VDC)
CÂU 1. Cho hàm số y = f ( x) liên tục và xác định
trên R. Biết f ( x) có đạo hàm f ′ ( x) và hàm số
y = f ′ ( x) có đồ thị như hình vẽ,
y

−1

O

CÂU 3. Cho hàm số y = f ( x). Đồ thị hàm số y =
f ′ ( x) như hình bên.
y
4

x

1

khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số f ( x) đồng biến trên R.
B. Hàm số f ( x) nghịch biến trên R.
C. Hàm số f ( x) chỉ nghịch biến trên khoảng
(−∞; 0).
D. Hàm số f ( x) nghịch biến trên khoảng
(0; +∞).
Lời giải.

Trong khoảng (0; +∞) đồ thị hàm số y = f ′ ( x)
nằm phía dưới trục hoành nên hàm số f ( x)
nghịch biến trên khoảng (0; +∞).
□
Chọn đáp án D
CÂU 2. Cho hàm số y = f ( x) liên tục và xác định
trên R. Biết f ( x) có đạo hàm f ′ ( x) và hàm số
y = f ′ ( x) có đồ thị như hình vẽ.

y
π 1
−
2
−π

O π
−1 2

π

x

Xét trên (−π; π), khẳng định nào sau đây
đúng?
A. Hàm số f ( x) đồng biến trên khoảng (−π; π).
B. Hàm số f ( x) nghịch biến trên khoảng
(−π; π).

134 bài toán đơn điệu, cực trị, GTLN – GTNN, tương giao của đồ thị hàm số (VD – VDC)

Nhóm "TikzPro – Vẽ hình và LATEX"

NẮM TRỌN

y = a(x + 7)(x + 2)(x − 3)

Chuyïn àïì

FFF

VD - VDC

HÀM SỐ
(Duâng cho hoåc sinh lúáp 12 vaâ luyïån thi Àaåi hoåc nùm 2021
Trình bày đầy đủ, chi tiết và khoa học
Có 100% lời giải chi tiết

Tuyển chọn đầy đủ các dạng toán hay và khó

y = ax3 + bx2 + cx + d
TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ

MỤC LỤC
1

Cơ bản về tính đơn điệu hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
A Lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 Điều kiện để hàm số đơn điệu trên khoảng K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Định lý về điều kiện đủ để hàm số đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
B Ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

Nắm trọn chuyên đề vận dụng – vận dụng cao hàm số

Mô tả của đề đang được cập nhật

Chuyên đề khảo sát và vẽ đồ thị hàm số dành cho học sinh trung bình – khá – Phan Nhật Linh

ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2023

Trên đường thành công không có dấu chân của người lười biếng

MỤC LỤC
Chương I.

KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

3

A

CÁC CÂU HỎI PHÂN THEO MỨC ĐỘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Mức độ cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Mức độ Khá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Mức độ Khó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

245 bài tập tổng ôn khảo sát hàm số và các bài toán liên quan có đáp án

MỤC LỤC

Chương 1.

HÀM SỐ & CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

A

Câu hỏi trắc nghiệm tổng hợp 4 mức độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Bài 2. TÍNH ĐƠN ĐIỆU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
A

Câu hỏi trắc nghiệm tổng hợp 4 mức độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Bài 3. CỰC TRỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
A

Câu hỏi trắc nghiệm tổng hợp 4 mức độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

Hàm số và các bài toán liên quan đến đồ thị – Nguyễn Hoàng Việt

Nắm trọn các chuyên đề hàm số – Phan Nhật Linh

GV: LÊ QUANG XE

TÀI LIỆU HỌC TẬP

TOÁN 12

(Cập nhật đầy đủ các dạng toán của các năm gần đây)
y

x

O

TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ
1

Muåc luåc
Phần I

ĐẠI SỐ

Chương 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Bài 1. SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

1
1

A

LÝ THUYẾT CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

B

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
| Dạng 1. Tìm khoảng đơn điệu của một hàm số cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
| Dạng 2. Xét tính đơn điệu dựa vào bảng biến thiên, đồ thị của hàm số . . . . . . . . . 

Tài liệu học tập Toán 12 chủ đề ứng dụng đạo hàm khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

–

– Email:

–

–
–
–
–

–

–

–

–
–
–
–
–

–
–
–

–
–
–
–

1

–

– Email:

–
–
–
–
–

–
–
–
–
–

–
–
–
–
–

–
–
–
–
–
–

–
–
–
–
–

–
–

2

–

– Email:

–
–
–
–
–
–
–
–
–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

3

–

– Email:

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

4

–

– Email:

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

5

–

– Email:

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

6

–

– Email:

–

y

x 2  5x  2
x 3


 \ 3

; 3  3; 
; 3

y

3; 

x 2  5x  2
x 3

D   \ 3
y 

x 2  6x  13

x  3

2



x

2



 6x  9  4

x  3

2

x  3  4

 0, x  D
x  3

; 3

2

2

3; 

–

7

–

– Email:

–

–

y
p x , g x    x 

y

p x 

q n x 

,

p x 

q n x 

y 

p  x  .q n x   n.p x  .q n 1 x .q  x 
q 2n x 



p  x  .q x   n.p x .q  x 
q n 1 x 

y .q n 1 x    x 

q x 



n 1





d  p x  

 n
dx q x 

r 100
x X

f x   ak x k  ak 1x k 1  ...  a2 x 2  a1x  a 0

y

p x 

q

f x 

n 1

x 

q n x 

x  3

2

r

y 

x  100

X  100



d  x 2  5x  2 


dx  x  3 

x X

10613

8

–

– Email:

2
10613  10000
  600
  13  x  

Xét tính đơn điệu của hàm số dựa vào công thức

Phan Nh  t Linh   Fanpage:   Luy  n thi Đ  i h  c 202 3  1   |   Facebook tác gi  :   Phan Nh  t Linh  CHỦ ĐỀ 06   : TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ     T  a đ    giao đi  m c  a hai đ    th    hàm s  :     Phương pháp:   Cho 2 hàm số (   )   (   ) =   = , y   f   x   y   g x   có đồ thị lần lượt là (   ) C   và (   )  C   .     Lập phương trình hoành độ giao điểm của (   ) C   và (   )  C   : (   )   (   )   ( ) =   * f   x   g x     Giải phương trình tìm x   từ đó suy ra y   và tọa độ   giao điểm.     Số nghiệm của (*) là số giao điểm của (   ) C   và (   )  C   .     Tương giao của đồ thị hàm bậc 3     Phương pháp 1: Bảng biến thiên ( phương pháp        Lập phương trình hoành độ giao điểm dạng (   )   = ,   0 F x m   (phương trình ẩn x   tham số m   )     Cô lập m    (   ) = m   f   x     Lập bảng biến thiên cho hàm số (   ) = y   f   x   .     Dựa và giả thiết và bảng biến thiên từ đó suy ra m   .     Dấu hiệu:   Sử dụng phương pháp bảng biến thiên khi m    x   .     Phương pháp 2: Nhẩm nghiệm      tam t hức bậc 2.     Lập phương trình hoành độ giao điểm (   )   = ,   0 F x m     Nhẩm nghiệm: (Khử tham số). Giả sử =   0  x   x   là 1 nghiệm của phương trình.     Phân tích: (   )   (   )   (   )   (   )     = =         =      =    0 0  ,   0   .   0   0  x   x F x m   x   x   g x   g x   (là (   )   =   0 g x   là phương trình bậc  hai ẩn x   tham số m   ).     Dựa vào yêu cầu bài toán đi xử lý phương trình bậc hai (   )   =   0 g x   .     Phương pháp 3: Cực trị     Nhận dạng:   Khi bài toán không cô lập được m và cũng   không nhẩm được nghiệm.     Quy tắc:     Lập phương trình hoành độ giao điểm (   )   ( ) = ,   0   1 F x m   . Xét hàm số (   ) =   , y   F x m      ( ) 1   có đúng 1 nghiệm thì đồ thị (   ) =   , y   F x m   cắt trục hoành tại đúng 1        Hoặc hàm số luôn đơn điệu trên    hàm số không có cực trị    = '   0 y   hoặc vô nghiệm  hoặc có nghiệm kép     '   0 y     Hoặc hàm số có cực đại, cực tiểu và  .   0 cd   ct  y   y   (tham khảo hình vẽ)  LÍ THUYẾTCh        0 6 :   Tương giao c  a đ    th    hàm s   Tư duy toán h  c 4.0      Luy  n thi Đ  i h  c 202 3   |   2      ( ) 1   có đúng 3   nghiệm thì đồ thị (   ) =   , y   F x m   cắt trục hoành tại 3      Hàm số có cực đại, cực tiểu và  .   0 cd   ct  y   y   (tham khảo hình vẽ).      ( ) 1   có đúng 2   nghiệm thì đồ thị (   ) =   , y   F x m   cắt trục hoành tại 2      Hàm số có cực đại, cực tiểu và = .   0 cd   ct  y   y   (tha m khảo hình vẽ)     Tương giao của hàm số phân thức     Cho hàm số (   ) + =   +  ax   b y   C cx   d   và đường thẳng =   + : d   y   px   q   . Phương trình hoành độ giao điểm  của (   ) C   và (   ) d   : (   ) +   =   +      = +   ,   0  ax   b   px   q   F x m cx   d   (phương trình bậc 2 ẩn x   tham số m   ).     Các câu hỏi thường gặp:     Tìm m    d   cắt (   ) C   tại 2    ( )    1   có 2 nghiệm phân biệt khác    d c   .     Tìm m    d   cắt (   ) C   tại 2    ( )    1   có 2  nghiệm phân biệt 1   2  , x   x   và thỏa mãn        1   2  :   d   x   x c   .     Tìm m    d   cắt (   ) C   tại 2    (   ) C ( )    1   có 2  nghiệm phân biệt 1   2  , x   x   và thỏa mãn     1   2  d x   x   c   .     Tìm m    d   cắt (   ) C   tại 2    (   ) C ( )    1   có 2 nghiệm  phân biệt 1   2  , x   x   và thỏa mãn     1   2  d x   x c   .     Tìm m    d   cắt (   ) C   tại 2    A   và B   thỏa mãn điều kiện hình học cho trước:      = AB   kS     Tam giác ABC   vuông.     Tam giác ABC   có diện tích 0  S

Chủ đề tương giao của đồ thị hàm số ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán

Phan Nh  t Linh   Fanpage:   Luy  n thi Đ  i h  c 202 3  1   |   Facebook tác gi  :   Phan Nh  t Linh  CHỦ ĐỀ 07   : TIẾP TUYẾN      S    TI  P XÚC     Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm (   ) 0   0 ; M   x   y   thuộc đồ thị hàm số:     Cho hàm số (   )   (   ) : C   y   f   x =   và điểm (   )   (   ) 0   0 ; M   x   y   C    . Viết phương trình tiếp   tuyến với đường  cong (   ) C   tại điểm M   .     Bước 1:   Tính đạo hàm (   ) ' f   x   . Tìm hệ số góc của tiếp tuyến là (   ) 0 ' f   x   .     Bước 2:   Phương trình tiếp tuyến tại điểm M là: (   )(   ) 0   0 ' y   f   x   x   x   y =      +   .     Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k   cho trước.     Bước 1: Gọi (   )    là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k.     Giả sử (   ) 0   0 ; M   x   y   là tiếp điểm. Khi đó 0 x   thỏa mãn: (   )   ( ) 0 '   1 = f   x   k   .     Giải ( ) 1   tìm 0 x   . Suy ra (   ) 0   0 y   f   x =   .     Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: (   ) 0   0 y   k   x   x   y =      +        tiếp xúc     Cho hai hàm số (   )   (   ) : C   y   f   x =   và (   )   (   ) ' : C   y   g   x =   . Đồ thị (   ) C   và (   ) C    tiếp xúc nhau   khi chỉ  khi   hệ phương trình: (   )   (   ) (   )   (   )  =          =    f   x   g   x f   x   g   x   có nghiệm.  LÍ THUYẾTCh        0 7 :   Ti  P tuy  n và s    ti  p xúc  Tư duy toán h  c 4.0      Luy  n thi Đ  i h  c 202 3   |   2  L  i gi  i  Ch  n A  T  p xác đ  nh:  \ 1 D   =   .   Ta có: (   ) 2  2 1  y   x        , 1 x       .      th    hàm s    có đư  ng ti  m c  n ngang 1 y   =   và đư  ng ti  m c  n đ  ng 1 x   =   .  Gi    s  (   )   (   ) (   ) ;   1 M M   m y   C   m     1   2 1 1   1  M  m y   m   m  +    =   =   +       ; (   )   (   ) 2  2 1  y   m   m     = −      .  Phương trình ti  p tuy  n    là: (   ) (   ) 2  2   2 1   1 1  y   x   m   m m  = −      +   +     (   ) 2   2  2   1   2   1   0 x   m   y   m   m    +            +   =  .  G  i A   là giao đi  m c  a    và đư  ng ti  m c  n ngang. T  a đ      m A   là nghi  m c  a h    phương  trình: (   )   (   ) 2  1 2   2   2   1 1   1 1  y x   m y   x   m   m m  =        =       = −      +   +       (   ) 2   1;1 A   m       .  G  i B   là giao đi  m c  a    và đư  ng ti  m c  n đ  ng. T  a đ      m B   là nghi  m c  a h    phương  trình: (   )   (   ) 2  1   3   4 2   2   1 1   1   1 1 1  x   m y y   x   m   m   m m m  =    +       =   =   +    = −      +   +             4 1;1   1  B   m         +            .  Suy ra: (   )   (   )   (   )   (   )  2 2   2   4 2  4   16   2 2   2   4   1   1   4 1   1 1  AB   m   m   m m   m m      =      +   =      +   =      +                  . (   )   (   )  2 4  2   1 ; 4   1  m   m d O m        +    = +     . (   )   (   )   (   )  2 4 4  2   1 1   1   2 ;   .   .   .   1   4 2   2   1 4   1  OAB  m   m S   d O   AB   m m m          +    =      =      +  +    2   2 2   1   2   1 1   1  m   m   m   m m   m        +   +    =   =      (vì 1 m      ) 2   2 3   4   1 1   1  m   m m   m  =   +   +   =   +      +       .    ng b  t đ  ng th  c Cô - si cho hai s  1 m      và 2 1 m      : (   )   2 1   2   2 1  m   m     +     (   )   2 4   1   4   2   2 1  m   m     +      +      +   .  VÍ DỤ MINH HỌA  VÍ DỤ 1:   Cho hàm s  (   )  1 1  x y   C x  + =      . Đi  m M   thu  c (   ) C   có hoành đ    l  n hơn 1   , ti  p tuy  n c  a (   ) C  t  i M   c  t hai ti  m c  n c  a (   ) C   l  n lư  t t  i A   , B   . Di  n tích nh    nh  t c  a tam giác OAB   b  ng  A. 4   2   2 +   .   B. 4   .   C. 4   2   .   D. 4   2 +   .

Chủ đề tiếp tuyến và sự tiếp xúc của đồ thị hàm số ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán

Phan Nh  t Linh   Fanpage:   Luy  n thi Đ  i h  c 202 3  1   |   Facebook tác gi  :   Phan Nh  t Linh  CHỦ ĐỀ 05   : ĐỌC VÀ BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ     Khảo sát một số hàm đa thức và phân thức  1.   Hàm số bậc ba (   ) =   +   +   +    3   2   0 y   ax   bx   cx   d   a     Trường hợp 1:   phương trình = '   0 y   có hai nghiệm phân biệt  Với    0. a   Với    0. a     Trường hợp 2:   phương trình = '   0 y   có nghiệm kép  Với    0. a   Với    0. a     Trường hợp 2:   phương trình = '   0 y   vô nghiệm  Với    0. a   Với    0. a  2.   Hàm số trùng phương (   ) =   +   +    4   2   0 y   ax   bx   c   a      (   ) =   +   =   + 3   2  '   4   2   2   2 y   ax   bx   x   ax   b   ,    = =      +   =    2  0 '   0   2   0  x y   ax   b         0 ab x  y  1  O  1 x  y  1  O   1  LÍ THUYẾTCh        0 5 :     c và bi  n đ  i đ    th  .  Tư duy toán h  c 4.0      Luy  n thi Đ  i h  c 202 3   |   2     Nếu           0 0  a b   hàm số có 2 cực đại và 1 cực tiểu     Nếu           0 0  a b   hàm số có 1 cực đại và 2 cực tiểu         0 ab     Nếu           0 0  a b   hàm số có 1 cực tiểu và không có cực đại     Nếu           0 0  a b   hàm số có 1 cực đại và không có cực tiểu     Trường hợp 1:   phương trình = '   0 y   có 3 nghiệm phân biệt (   )    0 . ab  Với    0. a   Với    0. a     Trường hợp 2:   phương trình = '   0 y   có 1 nghiệm  Với    0. a   Với    0. a  3.   Hàm số bậc nhất (   ) + =          +   0,   0  ax   b y   c   ad   bc cx   d     Tập xác định:     =             \   d D   R   c    (   )   = +   2  ad   bc y cx   d     N  u       0 ad   bc   hàm s      ng bi  n trên t  ng kho  ng xác đ  nh. Đ    th    n  m góc ph  n tư 2 và 4.     N  u       0 ad   bc   hàm s    ngh  ch bi  n trên t  ng kho  ng xác đ  nh. Đ    th    n  m góc ph  n tư 1 và 3.      = −   d x   c   và TCN: =   a y   c                    ;  d   a I   c   c x  y  O  1  1 x  y  1  O  1 x  y  1  O  1 x  y  O  1  1

Chủ đề đọc và biến đổi đồ thị ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán

Phan Nh  t Linh   Fanpage:   Luy  n thi Đ  i h  c 202 3  1   |   Facebook tác gi  :   Phan Nh  t   Linh  LÝ THUYẾT  CH        0 2: C  C TR    C  A HÀM S        nh nghĩa     Giả sử hàm số f   xác định trên tập K và 0  x   K    . Ta nói:   0  x   là      của hàm số f   nếu tồn tại một khoảng (   ) ; a b   chứa 0  x   sao cho (   ) ; a b   K    và (   )   (   )   (   )       0   0  ,   ;   \ f   x   f   x   x   a b   x         . Khi đó (   ) 0  f   x      giá trị cực tiểu   của hàm số f   .   0  x   là      của hàm số f   nếu tồn tại một khoảng (   ) ; a b   chứa 0  x   sao cho (   ) ; a b   K    và (   )   (   )   (   )       0   0  ,   ;   \ f   x   f   x   x   a b   x         . Khi đó (   ) 0  f   x      giá trị cực đại   của hàm số f   .         .     Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là   cực trị .        và điểm cực tiểu được gọi chung là      và điểm cực trị phải  là một điểm trong tập hợp K.     Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là   giá trị   cực trị (hay cực trị)   của   hàm   số.     Nếu 0  x   là điểm cực trị của   hàm số thì điểm (   ) (   ) 0   0  ; x   f   x        hàm số f   .     Quy t  c tìm c  c tr      Quy tắc 1:     Bước 1:   Tìm tập xác định.   Tìm (   ) . f   x      Bước 2:   Tìm các điểm i  x (   ) 1; 2;... i   =   mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên  tục nhưng không có đạo hàm.     Bước 3:   Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu (   ) f   x    . Nếu (   ) f   x     a i  x   thì hàm  số đạt cực trị tại i  x   .          Giả sử (   ) y   f   x =   có đạo hàm c  p 2 trong khoảng (   ) 0   0  ; x   h x   h    +   v    i 0. h      Khi đó:     Nếu (   ) 0   0, f   x    = (   ) 0   0 f   x       thì hàm số f    0   . x     Nếu (   ) 0   0, f   x    = (   ) 0   0 f   x       thì hàm số f    0   . x  Từ định lí trên, ta có một quy tắc khác để tìm cực trị của hàm số     Quy tắc 2:     Bước 1:   Tìm tập xác định. Tìm (   ) . f   x      Bước 2:   Tìm các nghiệm i  x (   ) 1; 2;... i   =   của   phương trình (   )   0. f   x    =     Bước 3:   Tính (   ) f   x    và tính (   ) . i  f   x   Nếu (   )   0 i  f   x       thì hàm số f    . i  x  Nếu (   )   0 i  f   x       thì hàm số f    . i  xCh        0 2 :   C  c tr    c  a hàm s   Tư duy toán h  c 4.0      Luy  n thi Đ  i h  c 202 3   |   2  VÍ DỤ MINH HỌA  Ch  n B  Ta có hàm s  3   2 1   3   1 3  y   x   x   x =   +      +   có t  p xác đ  nh D   =   . 2   2   3 y   x   x    +     ; 1 0   3  x y   x     =       = −    . 2   2 y   x    +  ; (   ) 3   4   0 y    = −      ; ( ) 1   4   0 y    =      .  Suy ra hàm s      t c  c ti  u t  i đi  m 1 x   =   .  L  i gi  i  Ch  n B  Xét hàm s  (   )   (   ) 3   2  3   1   3 7   3 y   x   m   x   m   x =      +   +      (1) (   )   (   ) 2  3   6   1   3 7   3 y   x   m   x   m     =      +   +      .  Ta có: (   ) 2  0   2   1   7   3   0 y   x   m   x   m          +   +      =   (2)  Hàm s      c tr    Phương trình 0 y    vô nghi  m ho  c có nghi  m kép (   )   (   )   (   )  2 2   0   1   1. 7   3   0 m   m           +          2   5   4   0 m   m       +    1   4 m         .  Do m   là s    nguyên nên     1; 2 ; 3 ; 4 m      . V  y t  p S   có 4 ph  n t  .  Lời giải  Chọn B  Từ giả thiết, ta có bảng biến thiên của hàm số (   ) f   x  VÍ DỤ 1 .   Hàm s  3   2 1   3   1 3  y   x   x   x =   +      +     t c  c ti  u t  i đi  m  A. 1 x   = −   .   B. 1 x   =   .   C. 3 x   = −   .   D. 3 x   =   .  VÍ DỤ 2 .  Cho hàm s  (   )   (   ) 3   2  3   1   3 7   3 y   x   m   x   m   x =      +   +      . G  i S   là t  p h  p t  t c    các giá tr    nguyên c  a  tham s  m       hàm s    không có c  c tr  . S    ph  n t    c  a S   là  A.   2.   B.   4.   C.   0.   D.   Vô s  .  VÍ DỤ 3 .  Cho   hàm   số (   ) y   f   x =   có      hàm (   )   (   ) (   ) 2   1   4 f   x   x   x    =         với   mọi x      .   Hàm   số (   )   (   ) 3 g x   f   x =     có bao nhiêu điểm cực đại?  A.   0.   B.   1 .   C.   2.   D.   3.

Chủ đề cực trị của hàm số ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán

Phan Nh  t Linh   Fanpage:   Luy  n thi Đ  i h  c 202 3  1   |   Facebook tác gi  :   Phan Nh  t Linh  CHỦ ĐỀ   0 3   :   GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT   C  A H  M S        nh nghĩa.  Cho hàm số (   ) = y   f   x   xác định trên tập . D     Số M gọi là   giá trị lớn nhất   của hàm số (   ) = y   f   x   trên D   nếu:                 =    0   0  ( )   , ,   (   )  f x   M   x   D x   D f x   M   .     Kí hiệu:   =   max   ( )  x   D  M   f x   .     Số m   gọi là   giá trị nhỏ nhất   của hàm số (   ) = y   f   x   trên D   nếu:                 =    0   0  ( )   , ,   (   )  f x   m   x   D x   D f x   m   .     Kí hiệu:   =   min   ( )  x   D  m   f x   .     Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất  O   Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng cách khảo sát trực tiếp     Bước 1 :   Tính (   )  f   x   và tìm các điểm  1   2  ,   ,...,   n  x   x   x   D   mà tại đó (   )    =   0 f   x   hoặc hàm số không có       Bước 2 :   Lập bảng biến thiên và từ đó suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.  o   Tìm   giá trị lớn nhất, giá   trị nhỏ nhất   của hàm số trên một đoạn     Bước 1 :  Hàm số đã cho (   ) = y   f   x   xác định và liên tục trên đoạn         ;   . a b  Tìm các điểm 1   2  ,   ,...,   n  x   x   x   trên khoảng (   ) ; a b   , tại đó (   )    =   0 f   x   hoặc (   )  f   x   không xác định.     Bước 2 :   Tính ( )   (   )   (   )   (   )   ( ) 1   2  ,   ,   ,...,   ,   . n  f   a   f   x   f   x   f   x   f   b     Bước 3 :   Khi đó: (   )   (   )   (   )   (   )   ( )   ( )              =   1   2 ,  max   max   ,   ,...,   ,   ,   . n a b  f   x   f   x   f   x   f   x   f   a   f   b (   )   (   )   (   )   (   )   ( )   ( )              =   1   2 ,  min   min   ,   ,...,   ,   ,   . n a b  f   x   f   x   f   x   f   x   f   a   f   b  o   Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ   nhất của hàm số trên một khoảng     Bước 1:   Tính đạo hàm  ( ) f   x   .     Bước 2:   Tìm tất cả các nghiệm    ( ; ) i  x   a b   của phương trình    = ( )   0 f   x   và tất cả các điểm  ( ; ) i   a b  làm cho  ( ) f   x   không xác định.     Bước 3.   Tính +    =   lim   ( )  x   a  A   f x   ,     =   lim   ( )  x   b  B   f x   , (   ) i  f x   ,  (   ) i  f   .     Bước 4.   So sánh các giá trị tính được và kết luận =   (   ; )  max   ( )  a b  M   f x   , =   (   ; )  min   ( )  a b  m   f x   .     Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là A   hoặc B   thì ta kết luận không có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất).  LÍ THUYẾTCh        0 3 :   Giá tr    l  n nh  t      Giá tr    nh    nh  t c  a hàm s   Tư duy toán h  c 4.0      Luy  n thi Đ  i h  c 202 3   |   2     N  u (   ) = y   f   x       ng bi  n trên         ; a b   thì (   )   ( ) (   )   ( )                      =     =    ; ;  min max  a b a b  f   x   f   a f   x   f   b   .     N  u (   ) = y   f   x   ngh  ch bi  n trên         ; a b   thì ( ) ( )                      =     =    ; ;  min   ( ) . max   ( )  a b a b  f x   f   b f x   f   a     Hàm số liên tục trên một khoảng   có thể   không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó.     Bất đẳng thức trị tuyệt đối:     Cho hai số thực , a b   khi đó ta có: +      +       a   b   a   b   a   b   .     Dấu “ = ” vế trái xảy ra khi , a b   cùng dấu. Dấu “ = ” vế   phải xảy ra khi , a b   trái dấu.     Tính chất của hàm trị tuyệt đối:          +   + = ,   2  a   b   a   b max   a   b   .     Phương pháp chung để giải các bài toán tìm GTLN      GTNN của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.     Bước 1:   Xét hàm số (   ) = y   f   x   tr          , a b   .  Tính đạo hàm (   )    . y   f   x  Giải phương trình (   )    =   0 f   x   và tìm các nghiệm i  a   thuộc         , a b   .     Bước 2:   Giải phương trình (   )   =   0 f   x   và tìm các nghiệm j  b   thuộc         , a b   .     Bước 3:   Tính các giá trị ( )   ( )   (   )   (   ) ;   ;   ; i   j  f   a   f   b   f   a   f   b   . So sánh và kết luận.

Chủ đề giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán

Phan Nh  t Linh   Fanpage:   Luy  n thi Đ  i h  c 202 3  1   |   Facebook tác gi  :   Phan Nh  t Linh  LÝ THUYẾT  CHỦ ĐỀ   01 :   CƠ BẢN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ       u ki  n đ    hàm s      u trên kho  ng K   .       nh nghĩa 1.  Gi    s    K là m  t kho  ng, m  t đo  n ho  c m  t   n  a   kho  ng và (   ) = y   f   x   là m  t hàm s    xác đ  nh  trên K , t a nói:  Hàm s  (   ) = y   f   x     c g  i là     ng bi  n   (tăng) trên K n  u (   )   (   ) 1   2   1   2   1   2 ,   ,              x   x   K x   x   f   x   f   x  Hàm s  (   ) = y   f   x     c g  i là   ngh  ch bi  n   (gi  m) trên K n  u (   )   (   ) 1   2   1   2   1   2 ,   ,              x   x   K x   x   f   x   f   x  Hàm s      ng bi  n ho  c ngh  ch bi  n trên K g  i chung là     u   trên K.     Nh  n xét.     Nh  n xét 1.     N  u hàm s  (   ) f   x   và (   ) g   x   cùng đ  ng   bi  n (ngh  ch bi  n) trên D thì hàm s  (   )   (   ) + f   x   g   x   cũng    ng bi  n   (ngh  ch bi  n)   trên D. Tính ch  t này có th    không đúng đ  i v  i hi  u (   )   (   )  f   x   g   x   .     Nh  n xét 2.     N  u hàm s  (   ) f   x   và (   ) g   x   là các hàm s    dương và cùng đ  ng bi  n (ngh  ch bi  n) trên D thì  hàm s  (   )   (   ) . f   x   g   x   cũng đ  ng bi  n (ngh  ch bi  n) trên D. Tính ch  t này có th    không đúng khi  các hàm s  (   )   (   ) , f   x   g   x   không là các hàm s    d      Nh  n xét 3.     Cho hàm s  (   ) = u   u   x   , xác đ  nh v  i (   ) ;  x   a b   và (   )   (   ) ;  u x   c d   . Hàm s  (   )         f   u x   cũng xác    nh v  i (   ) ;  x   a b   . Ta có nh  n xét sau:     Gi    s    hàm s  (   ) = u   u   x     ng bi  n v  i (   ) ;  x   a b   . Khi đó, hàm s  (   )         f   u x     ng bi  n v  i (   )   (   ) ;     x   a b   f   u    ng bi  n v  i (   ) ;  u   c d   .     Gi    s    hàm s  (   ) = u   u   x   ngh  ch bi  n v  i (   ) ;  x   a b   . Khi đó, hàm s  (   )         f   u x   ngh  ch bi  n v  i (   )   (   ) ;     x   a b   f   u  ngh  ch bi  n v  i (   ) ;  u   c d   .          Giả sử hàm số f   có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó:  Nếu hàm số    (   ) '   0,     f   x   x   K   .  Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì (   ) '   0,     f   x   x   K   .          Giả sử hàm số f   có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó:  Nếu (   ) '   0,     f   x   x   K   thì hàm số f     Nếu (   ) '   0,     f   x   x   K   thì hàm số f   nghịch biến trên K.  Nếu (   ) '   0, =    f   x   x   K   thì hàm số f   không đổi trên K.Ch        01 :   Cơ b  n v    tính đơn đi  u c  a hàm s   Tư duy toán h  c 4.0      Luy  n thi Đ  i h  c 202 3   |   2       nh lý v      u ki  n đ        hàm s      u:     Gi    s    hàm s  f   có đ  o hàm trên kho  ng K   . Khi đó:  N  u (   )   0 f   x       , x   K    và (   )   0 f   x    =   ch    t  i h  u h  n     m thu  c K   thì hàm s  f     ng bi  n  trên K   .  N  u (   )   0 f   x       , x   K    và (   )   0 f   x    =   ch    t  i h  u h  n đi  m thu  c K   thì hàm s  f   ngh  ch bi  n  trên K  Bài toán 1 .   Tìm tham s  m       hàm s  (   ) ; y   f   x m =     u trên kho  ng (   ) ;        .     Bư  c 1:   Ghi đi  u ki  n đ  (   ) ; y   f   x m =     u trên (   ) ;        .   Ch  ng h  n :         yêu c  u (   ) ; y   f   x m =     ng bi  n trên (   ) ;      (   ) ;   0 y   f   x m        =      .         yêu c  u (   ) ; y   f   x m =   ngh  ch bi  n trên (   ) ;      (   ) ;   0 y   f   x m        =      .     Bư  c 2:     c l  p m   ra kh  i bi  n s    và đ  t v    còn l  i là (   ) g   x   ,   có hai trư  ng h  p thư  ng g  p   :   (   ) m   g   x    , (   ) ; x       (   )   (   ) ;  max m   g   x          .   (   ) m   g   x    , (   ) ; x       (   )   (   ) ;  min m   g   x          .     Bư  c 3:   Kh  o sát tính đơn đi  u c  a hàm s  (   ) g   x   trên D   (ho  c s    d  ng Cauchy) đ    tìm giá tr   l  n nh  t và giá tr    nh    nh  t. T     m   .  Bài toán   2.   Tìm tham s  m       hàm s  ax   b y   cx   d  + =   +     u trên kho  ng (   ) ;        .     Tìm t  p xác đ  nh, ch  ng h  n d x   c     .   Tính đ  o hàm y    .     Hàm s      ng bi  n 0 y        (hàm s    ngh  ch bi  n 0 y        ).   Gi  i ra tìm đư  c m ( ) 1   .     Vì d x   c     và có (   ) ; x      nên (   ) ;  d c         .   Gi  i ra tìm đư  c m (   ) 2   .     L  y giao c  a ( ) 1   và (   ) 2     c các giá tr  m   c  n tìm .     C  n nh  : “N  u h  m s  ( ) f   t     u m  t chi  u trên mi  n D   (luôn đ  ng bi  n   ho  c luôn ngh  ch  bi  n)   th    phương tr  nh ( )   0 f   t   =   c    t  i đa m  t nghi  m v  u    , v   D    th  (   )   ( ) f   u   f   v   u   v =      =   .

Chủ đề tính đơn điệu của hàm số ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán

Phan Nh  t Linh   Fanpage:   Luy  n thi Đ  i h  c 202 3  1   |   Facebook tác gi  :   Phan Nh  t Linh  LÝ THUYẾT  CHỦ ĐỀ 04: TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ       ng ti  m c  n ngang     Cho hàm số =   ( ) y   f x   xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng (   ) (   ) +    ;   ,   ; a   b   hoặc (   )  ;  ). Đường thẳng =   0  y   y   là đường   tiệm cận ngang   (hay tiệm cận ngang)   của đồ thị  hàm   số =   ( ) y   f x   nếu      nhất   một   trong   các      kiện   sau      thỏa   mãn:      =   = 0   0  lim   ( )   , lim   ( )  x   x  f x   y   f x   y  .       ng ti  m   c  n đ  ng      =   0  x   x      tiệm cận đứng   (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số =   ( ) y   f x  nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: +          = +   = −  0   0  lim   ( )   , lim   ( )   ,  x   x   x   x  f x   f x +          = −   = +  0   0  lim   ( )   , lim   ( )  x   x   x   x  f x   f x  Lưu ý:     Với đồ thị hàm phân thức dạng (   ) + =          +   0;   0  ax   b y   c   ad   bc cx   d   luôn có tiệm cận ngang là =   a y   c  và tiệm cận đứng = −   .  d x   c     Dấu hiệu nhận biết các đường tiệm cận của đồ thị hàm số     Hàm phân   thức mà nghiệm của mẫu không là nghiệm của tử có tiệm cận đứng.     Hàm phân thức mà bậc của tử    bậc của mẫu có TCN.     Hàm   căn   thức   dạng: (   )   (   )   (   )   (   )   (   )   (   ) =      =      =    ,   , y   f   x   g x   y   f   x   g x   y   g x   f   x   có   tiệm   cận  ngang . ( d      Hàm (   ) =       , 0   1 x  y   a   a   có   tiệm cận ngang =   0 y   .     Hàm số (   ) =       log   , 0   1 a  y   x   a   có   tiệm cận đứng =   0 x   .     Cách tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số     T iệm cận đứng :   ta đi t    nghiệm của tử.     T iệm cận ngang :   t    lim  x  y   hoặc   lim  x  y     Một số chú ý trong quá trình tìm tiệm cận.     Nếu          =   = 2  0 x   x   x   x   x   .     Nếu          =   = − 2  0 x   x   x   x   x   .Ch        0 4 :   Ti  m c  n c  a đ    th    hàm s   Tư duy toán h  c 4.0      Luy  n thi Đ  i h  c 202 3   |   2  VÍ DỤ MINH HỌA  Lời giải  Chọn B  Vì (   ) +    = +  1  lim  x  f   x   nên đồ thi hàm số có tiệm cận đứng =   1 x   .  Lời giải  Chọn C  Xét phương trình    = − +   +   =      = −   2   1 5   4   0   4  x x   x   x   , hai nghiệm này đều không là nghiệm của tử   số nên    Mặt khác:      = +   +  2 2  2 lim   2 5   4 x  x   x x   x   , nên đường =   2 y   là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.  Vậy đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận.  Lời giải  Chọn D  Ta có: (   )(   ) (   )   (   ) (   )  +       =   =          +         +   +      +   +  2  3   2   1   1   ,   1 3   2   1   2   3   2   2   3   2  x   x   x x   x   x   x   x   x   x   .  Khi đó ta thấy =   2 x   là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.  Mặt khác: (   ) (   )   =    +   +  1 lim   0 2   3   2 x   x   x   , nên đồ thị hàm số nhận =   0 y   làm tiệm cận ngang.  Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.  Lời giải  Chọn B  VÍ DỤ 2 .  Cho hàm số  =   +   +  2 2  2 5   4  x   x y   x   x   . Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là:  A. 2   B. 1   C. 3   D. 4  VÍ DỤ 3.   Cho hàm số +    =      + 2  3   2 3   2  x y   x   x   . Đồ thị hàm số có bao nhiêu     A. 3   B. 1   C. 4   D. 2  VÍ DỤ 4.    =        2   2  1 ( ) 2   5   2   3  f x x   x   x   x  A. =   = − 2;   2 y   y   .   B. =   = − 2;   2 y   y   .   C. =   2 y   .   D. =   2 y   .  VÍ DỤ 1 .   Cho hàm số (   ) = y   f   x   có (   ) +    = +  1  lim  x  f   x   và (   )     =  1  lim   2  x  f   x   . Mệnh đề nào sau đây đúng?  A.    .   B.    =   1 x   .  C.      cận .   D.    =   2 y   .

Chủ đề tiệm cận của đồ thị hàm số ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán

CH       3: GIÁ TR    L  N NH  T VÀ NH    NH  T  1. Định nghĩa  Cho hàm s    xác đị nh trên   D     S    M    c g  i là giá tr    l  n nh  t ( GTLN ) c  a hàm s    ( ) = y   f   x   trên   D   n  u ( )   ;   , :   (   ) o   o f   x   M   x   D x   D   f   x   M             =  ta kí hi  u   max   ( )  x   D M   f   x   =  Chú ý:   N  u   ( )   ; f   x   M   x   D       thì ta chưa thể   suy ra   max   ( )  x   D M   f   x   =     S    m    c g  i là giá tr    nh    nh  t ( GTNN ) c  a hàm s    (x) y   f =   trên   D   n  u ( )   ;   , :   (   ) o   o f   x   M   x   D x   D   f   x   M             =  ta kí hi  u   min   ( )  x   D M   f   x   =  Chú ý:   N  u   ( )   ; f   x   M   x   D       thì ta chưa thể   suy ra   min   ( )  x   D M   f   x   =  2. Các phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số  Phương pháp chung:   tìm GTLN, GTNN c  a hàm s    ( ) y   f   x =   trên   D , ta tính   y’ , tìm các điể m mà t  o hàm tri  t tiêu ho  c không t  n t  i và l  p b  ng bi  n thiên. T    b  ng bi  n thiên ta suy ta GTLN, GTNN c  a hàm s  .     Chú ý :     N  u hàm s    ( ) y   f   x =   luôn tăng hoặ c gi  m trên [ a;b ].  Thì ta có   {   } [ ; ] max   ( )   ( );   ( )  a b f   x   f a   f b =   và   {   } [ ; ] min   ( )   ( );   ( )  a b   f   x   f a   f b =     N  u hàm s    ( ) y   f   x =   liên t  c trên [ a;b ] thì luôn có GTLN, GTNN trên đoạn đó và để   tìm GTLN,  GTNN ta làm như sau:  -   Tính   y’   và tìm các điể m   1   2 ,   ,...,   n x   x   x   mà t    y’   tri  t tiêu ho  c không t  n t  i. -   Tính các giá tr    1   2   3 (   ),   (   ),   (   ),...,   (   ). n f   x   f   x   f   x   f   x   Khi     +)   {   } 1   2 [ ; ] max   ( )   (   );   (   );....   (   );   ( );   ( ) n  a b f   x   f   x   f   x   f   x   f a   f b = +)   {   } 1   2 [ ; ] min   ( )   (   );   (   );....   (   );   ( );   ( ) n  a b   f   x   f   x   f   x   f   x   f a   f b =     N  u hàm s    ( ) y   f   x =   tu  n hoàn trên chu k    T      tìm GTLN, GTNN c    D   ta ch    c  n tìm GTLN, GTNN trên m  n thu  c   D   có độ   dài b  ng   T .     Cho hàm s    ( ) y   f   x =   xác đị nh trên   D . Khi đặ t    n ph    ( ), t   u x =   ta tìm đượ c   t   E    v  i   x   D    , ta có  ( ) y   g t =   thì   Max,   Min   c  a hàm   f   trên   D   chính là   Max, Min   c  a hàm   g   trên   E .     Khi bài toán yêu c  u tìm giá tr    l  n nh  t, giá tr    nh    nh  p nào thì ta hi  u là tìm GTLN, GTNN trên t  nh c  a hàm s  .     Ngoài phương pháp khảo sát để   tìm   Max, Min   ta có thể   dùng phương pháp miề n giá tr    ho  c b  ng th    tìm   Max, Min     Ta c  n phân bi  t hai khái ni  n  -   Giá tr    l  n nh  t c  a hàm s    ( ) y   f   x =   trên   D   v  i c  i c  a hàm s  . -   Giá tr    nh    nh  t c  a hàm s    ( ) y   f   x =   trên   D   v  i c  c ti  u c  a hàm s  .  3. Tìm tập giá trị   c   Phương pháp chung:  Vi  c tìm t  p giá tr    c  a hàm s    chính là vi    nh    nh  t, kí hi  u là   m   và giá tr    l  n nh  t, kí hi  u là   M . Khi đó, tậ p giá tr    c  a hàm s    là   [   ;   ]. T   m M =  4. Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số   hai biến (bài toán cực trị )  Các bài toán hai biến (yêu cầu: tìm GTLN, GTNN hoặc tìm tập giá trị ).     S    d    ( ) y   h x =   t    gi    thi  t vào bi  u th  c   P   c  n tìm c  c tr    ( ) P   f   x =   v  i [ ; ] x   a b          tìm GTLN, GTNN c  a bài toán m  t bi  n.     S    d  ng các b  ng th    dùng để   gi  i quy  t các bài toán m  t bi  n)     B  ng th  c AM – GM cho hai s    th  c không âm

Chuyên đề trắc nghiệm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

CH       4: TI  M C  N C    TH    HÀM S   I. LÝ THUY  T TR  NG TÂM        Cho hàm s    (   ) y   f   x =   xác đị nh trên m  t kho  ng vô h  n (là kho  ng d  ng   (   ) ; a   +∞ ;  (   ) ; b    ho  c   (   ) ;    ). Đườ ng th  ng   0 y   y =   là đườ ng   ti  m c    (hay ti  m c  n ngang) c    th   hàm s    (   ) y   f   x =   n  u     t   m  u ki  c th  a mãn:   0   0 lim   ; lim   .  x   x y   y   y   y      =   =         ng th  ng   0 x   x =   là đườ ng   ti  m c  ng   (hay ti  m c  ng) c    th    hàm s   (   ) y   f   x =   n  u     t   m  u ki  c th  a mãn: 0 lim   ;  x   x y +  = +∞   0 lim   ;  x   x y   = +∞   0 lim   ;  x   x y +  = −∞   0 lim   .  x   x y   = −∞  II. CÁC D  NG TOÁN   THƯỜ NG G  P     D    Tìm ti  m c  n c    th    hàm s    không ch   Phương pháp giải:     tìm ti  m c  n c    th    hàm s    (   ) y   f   x =   ta th  c hi  c sau:     Bước 1:   Tìm mi  nh (t  nh) c  a hàm s    (   ) y   f   x =     Bước 2:   Tìm gi  i h  n c  a   (   ) f   x   khi   x   ti  n biên c  a mi  nh.     Bướ c 3:   T    các gi  i h  m c  ng ti  m c  n.   c bi    tìm các đườ ng ti  m c  n c    th    hàm s    (   ) (   )  f   x y   g   x  =   ta có th    làm như sau:  -   Bước 1:   Tìm t  nh   D . -   Bước 2:  +) Tìm ti  m c  n ngang: Ta tính các gi  i h  n:   lim   ; lim  x   x y   y      và k  t lu  n ti  m c  n ngang +) Tìm ti  m c  ng: S    d    nhân liên h  p ho  c phân tính nhân t        n bi  u th  c  (   ) (   )  f   x  g   x   v    d  ng t  i gi  n nh  t có th    t     t lu  n v    ti  m c  ng.  Chú ý:  - N  u b  c c  a   (   ) f   x   nh    hơn hoặ c b  ng b  c   c  a   (   ) g   x   thì      th    hàm s    có ti  m c  n ngang. - N  u b  c c  a   (   ) f   x   l  c c    thì   (   ) g   x      th    hàm s    không có ti  m c  n ngang.  Ví d    1: Tìm ti   n đ     a các đ     a)   (   ) 2 2   . 1  x y   C x   =      b)   (   )  2 2 2   5   1   . 5   4  x   x y   C x   x  +   + =      +L  i gi  i  a)   TXĐ:   {   } \   1;1 D   =       . Ta có:   2   2 2 2 2   1 2 lim   lim   lim   0   0 1 1 1  x   x   x x   x   x y   y x x           =   =   =      =   là ti  m c  n ngang c   th    hàm s  . M  t khác   1 lim  x y   = ∞   và   (   ) 1 lim  x   y     = ∞   nên   1 x   =   và   1 x   = −   là các đườ ng ti  m c  n c    th    hàm s  .  b)   TXĐ:   {   } \ 1; 4 D   =      . Ta có:   (   )(   ) 2 1   1 2   5   1 lim   lim   1   4 +   +     +   + =   = −∞     x   x x   x y   x   x   (ho  c   (   )(   ) 2 1   1 2   5   1 lim   lim   1   4 x   x x   x y   x   x         +   + =   = +∞       ) nên đườ ng th  ng   1 x   =   là ti  m c  ng c  a   (C) .  Tương tự    ng th  ng   4 x   =   cũng là tiệ m c  ng c    th    hàm s      L  i có: 2   2 2 2 5   1 2 2   5   1 lim   lim   lim   2 5   4 5   4   1  x   x   x x   x   x   x y   x   x x   x         +   + +   + =   =   =    +      +  nên đườ ng th  ng   2 y   =   là ti  m c  n ngang c   th    hàm s      Ví d    2: Tìm ti   n đ     a các đ     a)   2 3   2   . 1  x   x y   x  +    =      b)  2 2 4   3 . 7   4  x   x y x     + = +     L  i gi  i  a)   TXĐ:   [   )   {   } 3;   \   1 . D   = −   +∞     Ta có:   2 3   2 lim   lim   0   0 1 x   x x   x y   y x     +    =   =      =    là ti  m c  n ngang c    th    hàm s  . M  t khác   (   )(   )  (   )(   )  (   )(   ) 2 2 1   1   1   1 1   3   4 3   4 3   2   3   2   3   2 lim   lim   lim   lim 1   1   1   1 1 x   x   x   x x   x x   x x   x   x   x   x   x y   x   x   x   x x              + +    +      +   +   +   + =   =   =    +      +   (   ) (   ) 1 3   4   7 lim   1 8 1   3   2 x x   x x   x   x  + =      = −      = +   +   +   không là ti  m c  ng c    th    hàm s  . Ta có:   (   )   (   )   2 1   1 3   2 lim   lim   1 1 x   x x   x y   x x     +    =   = ∞ ⇒   = −    là ti  m c  ng c    th    hàm s  .  b)   TXĐ:   . D   =      Ta có: 2 2 4   3 lim   lim 7   4 x   x x   x y x        + =   = +∞ ⇒ +        th    hàm s    không có ti  m c  n ngang.

Chuyên đề trắc nghiệm đường tiệm cận của đồ thị hàm số

CH       2 – C  C TR    C  A HÀM S   I. LÝ THUY  T TR  NG TÂM  1) Khái ni  m c  i và c  c ti  u        Cho hàm s    (   ) y   f   x =   xác đị nh và liên t  c trên kho  ng   (   ) ; a b   (có th    a   là      ;   b   là   +∞   )  và điể m   (   ) 0   ; x   a b  a) N  u t  n t  i s    0 h   >   sao cho   (   )   (   ) 0 f   x   f   x <   v  i m  i   (   ) 0   0 ; x   x   h x   h       +   và   0 x   x    thì ta nói hàm s   (   ) f   x    t c  i t  i   0 x   . b) N  u t  n t  i s    0 h   >   sao cho   (   )   (   ) 0 f   x   f   x >   v  i m  i   (   ) 0   0 ; x   x   h x   h       +   và   0 x   x    thì ta nói hàm s   (   ) f   x    t c  c ti  u t  i   0 x   .  Chú ý:  - N  u hàm s    (   ) f   x    t c  i (c  c ti  u) t  m   0 x   thì   0 x    c g  i là    i  m c  m c  c ti  u)   c  a hàm s  ;   (   ) 0 f   x    c g  i là   giá tr    c  i (giá tr    c  c ti  u)   c  a hàm s  , ký hi  u là   (   ) CD   CT f   f   , còn điể m  (   ) (   ) 0   0 ; M   x   f   x    c g  i là    i  m c  m c  c ti  u)   c  a      th    hàm s  . - Các    i  m c  i c  c ti  c g  m c  c tr  . - D    dàng ch  c r  ng, n  u hàm s    (   ) y   f   x =   có đạ o hàm trên kho  ng   (   ) ; a b   và đạ t c  i ho  c c  c ti  u t  i   0 x   thì   (   ) 0 '   0. f   x   =        Gi    s    hàm s    (   ) y   f   x =   liên t  c trên kho  ng   (   ) 0   0 ; K   x   h x   h =      +   và có đạ o hàm trên   K   ho  c trên   {   } 0 \   , K   x   v  i   0 h   >   . - N  u   (   ) 0 '   0 f   x   >   trên kho  ng   (   ) 0   0 ; x   h x    và   (   ) 0 '   0 f   x   <   trên kho  ng   (   ) 0   0 ; x   x   h +   thì   0 x   là điể m c  i c  a hàm s    (   ) . f   x  x   0 x   h    0 x   0 x   h +  (   ) ' f   x   +     (   ) f   x  CĐ - N  u   (   ) 0 '   0 f   x   <   trên kho  ng   (   ) 0   0 ; x   h x    và   (   ) 0 '   0 f   x   >   trên kho  ng   (   ) 0   0 ; x   x   h +   thì   0 x   là điể m c  c ti  u c  a hàm s    (   ) . f   x  x   0 x   h    0 x   0 x   h +  (   ) ' f   x   +     (   ) f   x CTNh    Xét hàm s    (   ) y   f   x =   liên t  nh trên   (   ) ; a b   và   (   ) 0   ;   . x   a b  - N  u   (   ) ' f   x    i d  u khi qua    m   0 x   thì   0 x   là điể m c  c tr    c  a hàm s  . - N  u   (   ) ' f   x    i d  u t    dương sang âm   khi qua    m   0 x   thì   0 x   là điể m c  c    i c  a hàm s  . - N  u   (   ) ' f   x    i d  u t       khi qua    m   0 x   thì   0 x   là điể m c  c ti  u c  a hàm s  .  Chú ý:   Hàm s    2  y   x   x =   =   có đạ o hàm là   2 2 '   2  x y   x  =   không có đạ o hàm t  m   0 x   =   tuy nhiên   ' y v  i d  u t       khi qua    m   0 x   =   nên hàm s     t c  c ti  u t  m   0 x   =   .        Gi    s    hàm s    (   ) y   f   x =   có đạ o hàm c  p hai trong kho  ng   (   ) 0   0 ; x   h x   h    +   v  i   0 h   >   . Khi đó:  - N  u   (   ) (   )  0 0 0 '   0 ''   0  f   x   x f   x  =         >    là điể m c  c ti  u. - N  u   (   ) (   )  0 0 0 '   0 ''   0  f   x   x f   x  =         <    là điể m c  i.  Chú ý:   N  u   (   ) 0 '   0 f   x   =   và   (   ) 0 ''   0 f   x   =   thì chưa thể   kh  c   0 x   là điể m c  m c  c ti  u hay c  c tr    c  a hàm s  .  Ví d    Hàm s    3  y   x =   có   (   ) (   )  ' 0   0 '' 0   0  f f  =      =   tuy nhiên hàm s    này không đạ t c  c tr    t  m   0 x   =   . Hàm s    4  y   x =   có   (   ) (   )  ' 0   0 '' 0   0  f f  =      =   tuy nhiên hàm s    này đạ t c  c ti  u t  m   0 x   =   . Do v  y ta chú ý    nh lý 2   ch       m  t chi  u   (không có chi  c l  i).  II. CÁC D  NG TOÁN TR  I D  NG 1. TÌM C  C TR    C  A HÀM S    KHÔNG CÓ THAM S   Phương pháp giải :     Quy t      ng    nh lý 1. -   Bước 1:   Tìm mi  nh   D   c  a hàm s      -   Bước 2:   Tính   (   ) ' f   x   . Tìm các điể m mà t    (   ) '   0 f   x   =   ho  c   (   ) ' f   x   không xác đị nh.  -   Bước 3:   D  a vào b  ng xét d  u   (   ) ' f   x   ho  c b  ng bi  t lu  n.     Quy t      ng    nh lý 2. -   Bước 1:   Tìm mi  nh   D   c  a hàm s      -   Bước 2:   Tính   (   ) ' f   x   . Gi    (   ) '   0 f   x   =   và ký hi  u   (   ) 1, 2,... i x   i   n =   là các nghi  m c  a nó.  -   Bước 3:   Tính   (   ) '' f   x   t     c   (   ) ''   i f   x   .  -   Bước 4:   D  a vào d  u c  a   (   ) ''   i f   x   suy ra tính ch  t c  c tr    c  m   i x .

Chuyên đề trắc nghiệm cực trị của hàm số

CH       1: TÍNH ĐƠN ĐIỆ U C  A HÀM S   I. LÝ THUYẾ T TR  NG TÂM  1) Quy t  c xét d  u bi  u th  c     xét d  u cho bi  u th  c   (   )   (   ) (   )  =   p x g   x   q x   ta làm như sau:  -   Bướ c 1:    u ki    (   )   0  q x   . Tìm t  t c    các nghi  m c  a   (   )   (   ) ; p x   q x   và sắ p x  p các nghi    t    tăng dần và điề n vào tr   Ox .  -   Bướ c 2:   Cho    x      xác đị nh d  u cùa   (   ) g   x   khi    x   .  -   Bướ c 3:   Xác đị nh d  u c  a các kho  ng còn l  i d  a vào quy t   Chú ý:   Qua nghi  m   b  i l    thì   (   ) g   x    i d  u còn qua nghi  m   b  i ch  n   thì   (   ) g   x   không đổ i d  u (ch  n gi   nguyên, l     i d  u).  Ví d  :   Xét d  u c  a bi  u th  c   (   )   (   ) (   ) (   )(   ) 4 2 4 .   5 2   1      =   +   +  x   x f   x   x   x   .  Bướ c 1:   Ta th  y nghi  m c  a bi  u th  c trên là   2;   1; 4;5       sắ p x  p th    t    tăng dầ n trên tr  .  Bướ c 2:   Khi    x   (ví d    cho   x   = 10000) ta th  y   (   ) f   x   nh  n giá tr    dương.  Bướ c 3:   Xác đị nh d  u cùa các kho  ng còn l  i. Do   (   ) 4 5  x   mũ chẵ n (nghi  m b  i ch  n) nên qua 5 bi  u th  i d  u. Do   (   ) 1 4  x   mũ lẻ   (nghi  m b  i l  ) nên qua 4 bi  u th  i d  u ...  Ta đượ c b  ng xét d  u cùa   (   ) f   x   như sau:  x      2    1    4   5   +∞  (   ) f   x   +   0      0      0   +   0   +  K  t lu  n:   (   )   (   )   (   )   (   ) 0   ;   2   4;5   5; >               +∞ f   x   x   và   (   )   (   )   (   ) 0   2;   1   1; 4 <             f   x   x   .  2) Tính đơn điệ u c  a hàm s   Kí hi  u   K   là kho  ng ho  n ho  c n  a kho  ng. Gi    sử   hàm số   (   ) = v   f   x   xác đị nh trên   K .     Hàm   số   (   ) = y   f   x    ng bi  n   (tăng)   n  u v  i m  i c  p   1   2 ; x   x   thu  c   K   mà   thì   (   )   (   ) 1   2 < f   x   f   x   t  c là  (   )   (   ) 1   2   1   2 <      < x   x   f   x   f   x   .     (   ) = y   f   x   ngh  ch bi  n (gi  m) n  u v  i m  i c  p   1   2 ; x   x   thu  c   K   mà   1   2 < x   x   thì   (   )   (   ) 1   2 > f   x   f   x t  c là   (   )   (   ) 1   2   1   2 <      > x   x   f   x   f   x   .  Ví d    1:   Xét hàm số   (   )   2   1 =   =   + y   f   x   xXét   (   )   (   ) 1   2   1   2   1   2   1   2 2   2   2   1   2   1 <      <      +   <   +      < x   x   x   x   x   x   f   x   f   x   suy ra hàm s      (   )   2   1 =   =   + y   f   x   x   là m  t  hàm số    ng bi  n trên      .  Ví   d    2:   Hàm   số   (   )   7   2 =   = −   + y   f   x   x   ngh  ch   bi  n   trên      ,   vì:   Giả   sử   1   2 < x   x   ,   ta   có:  (   )   (   )   (   )   (   )   (   ) 1   2   1   2   2   1   1   2 7   7   7   0    = −   +   =      >      > f   x   f   x   x   x   x   x   f   x   f   x   suy ra hàm s ố   (   )   7   2 =   = −   + y   f   x   x   là m  t  hàm số    ng bi  n trên      .  Hàm số    ng bi  n ho  c ngh  ch bi  n trên   K    c g     u trên   K .  Nh  n xét:   T       1   2 ;     x   x   K   và   1   2  x   x   , thì hàm số  (   ) f   x    ng bi  n trên   K   (   )   (   ) 2   1 2   1 0      >   f   x   f   x x   x  (   ) f   x   ngh  ch bi  n trên   K   (   )   (   ) 2   1 2   1 0      <   f   x   f   x x   x N     ng bi  n trên   K   thì đồ   th       trái sang phả i, n    ngh  ch bi  n trên   K   thì đồ   th      xu  ng t    trái sang phả i.     Cho hàm số   (   ) = y   f   x   có đạ o hàm trên   K . a) N  u   (   )   0    > f   x   v  i m  i   x   thu  c   K   thì hàm số   (   ) f   x    ng bi  n trên   K . b) N  u   (   )   0    < f   x   v  i m  i   x   thu  c   K   thì hàm số   (   ) f   x   ngh  ch bi  n trên   K .  Tóm lạ i xét trên   K   (   )   (   ) :   0    >    K   f   x   f   x    ng bi  n;   (   )   (   ) 0    <    f   x   f   x   ngh  ch bi  n.  Chú ý:   N  u   (   )   (   ) 0    =    f   x   x   K   thì hàm số   (   ) = y   f   x   là hàm số   không đổ i trên   K .     R  NG  Gi    sử   hàm số   (   ) = y   f   x   có đạ o hàm trên   K . N  u   (   )   (   ) (   ) 0   0 ,            f   x   f   x   x   K và   (   )   0    = f   x   ch    t  i m  t  số   h  u h     ng bi  n (ngh  ch bi  n) trên   K.  Ví d  : Xét hàm số   3   2 3   3   10 =      +   + y   x   x   x   thì   (   ) 2 2 3   6   3   3   1   0       +   =       y   x   x   x   , d  u b  ng x  y ra ch    t  m 1 = x   do đó hàm số    ng bi  n trên      .  II. CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI  DẠNG 1: CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢ N     Lo  i 1: Tìm các kho  u (kh  o sát chi  u bi  n thiên) cùa hàm s    (   ) = y   f   x   d  a vào b  ng xét d  u    y   .  Phương pháp giả i.   c 1.   Tìm t  nh D c  a hàm s  o hàm   (   )     = y   f   x   .   c 2.   Tìm   các điể m t    (   )   0    = f   x   ho  c   (   )  f   x   không xác đị nh.

Chuyên đề trắc nghiệm tính đơn điệu của hàm số

CH       8: BÀI TOÁN TI  P TUY  N D  ng 1: Vi  p tuy  n t  i m  m  Phương pháp giải:  Cho hàm s    (   )(   ) = y   f   x   C   . Khi đó phương trình tiếp tuyến tại điể m   (   ) (   )   (   ) 0   0 ;    A x   f   x   C   là  (   )(   )   (   ) 0   0   0   =      + y   f   x   x   x   f   x   .  Trong đó   0 x      tiếp điể m:   (   ) 0   0 = y   f   x   là tung độ   tiếp điể m và   (   ) 0   = k   f   x   là h    s    góc  c  m   (   ) 0   0 ; A x   y    m.  Ví d    1:   Vi    thị   hàm s    (   ) 3   3x =   + y   x   C   tạ i:  a) Điể m   (   ) 1; 4 A   .  b) Điểm có hoành độ   0   1 = − x  c) Điểm có tung độ   0   14 = y   .  d) Giao điể m c  a   (   ) C   v    :   3   8 =    d   y   x   .  L   a) Ta có:   (   )   ( ) 2 3x   3   1   6     =   +      = f   x   f   . Do v  i   (   ) 1; 4 A   là   (   ) 6   1   4   6x   2 =      +   =    y   x b) V  i   (   )   (   ) 0   0   0 1   4   6  =   = −      = −      = x   x   f   x   f   x Do v    (   ) 6   1   4   6   2 =   +      =   + y   x   x  c) V  i   (   ) 3 0   0 14   3   14   2;   2   15  =      +   =      =   = y   x   x   x   f Do v    (   ) 15   2   14   15   16 =      +   =    y   x   x  d) Hoành độ   giao điể m c  a   (   ) C   và   d   là   3   3x   3   8   2 +   =         = − x   x   x V  i   (   ) 2   14   2   15  = −      = −         = x   y   f   . Do đó phương trình tiếp tuyến là   (   ) 15   2   14   15   16 =   +      =   + y   x   x   .  Ví d    2:   Cho hàm s    (   )  2 2   1   =   +  x y   C x   . a) Vi  a   (   ) C   tại điểm có tung độ   0   3 = y   . b) Vi  a   (   ) C   tại giao điể m c  a   (   ) C   v    :   2 =    d   y   x   .  L   Ta có:   (   ) 2 5 2   1     +  y   x  a) Ta có:   (   ) 0   0 2 3   3   5x   5   1   1   5 2   1      =      =      = −      = −         = +  x y   x   y x   .Do v    (   ) 5   1   3 =   +   + y   x   hay   5   8 =   + y   x   .  b) Phương trình hoành độ   giao điể m c  a   d   và   (   ) C   là:   2 2   2   0 2   1  =     =         = +     x x   x   x x V  i   (   ) 0   0 1 2   0;   2   5   =      =   = x   y   y   suy ra phương trình tiếp tuyến là:   (   )  1   2 5  =    y   x   . V  i   (   ) 0   0 0   2;   0   5  =      = −   = x   y   y   suy ra phương trình tiếp tuyến là:   5   2 =    y   x   .  Ví d    3:   Phương trình tiếp tuyến của đồ   thị   hàm s    3   4   2 =      + y   x   x   tại điểm có hoành độ   b   A.   2 = −    y   x   B.   2 =    y   x   C.   = − y   x   D.   1 = −   + y   x  L   Ta có   (   )   ( ) 2 0   0 1   1;   3   4   1   1     =      = −   =         = − x   y   f   x   x   f  Do v    (   ) 1   1 = −         = − y   x   x   .   Ch  n C.  Ví d    4:   Phương trình tiếp tuyến của đồ   thị   hàm s    (   )  2   1 1  + =     x y   C x   tại giao điể m c  a   (   ) C   v   A.   3   1 = −    y   x   B.   3   3 = −    y   x   C.   3 = − y   x   D.   3   3 = −   + y   x  L   (   )   (   ) 0;   1    =    C   Oy   A   . L    (   )   (   ) 2 3   0   3 1       =      = −   y   y x  Do v    3   1 = −    y   x   .   Ch  n A.  Ví d    5:   Phương trình tiếp tuyến của đồ   thị   hàm s    2   3 =   +       y   x   x   tại điểm có hoành độ   2  x   là:  A.   3   3 4   2  =   + y   x   B.   3   1 4   2  =    y   x   C.   3   3 4   2  =    y   x   D.   3   1 2   2  =   + y   x  L   V  i   2   1 =      = x   y   . L    (   )   (   )  1   1   3 2   4 2   2   2   3      =   +      = +     f   x   f x   x  Do đó phương trình tiếp tuyến là:   (   )  3   3   1 2   1 4   4   2  =      +   =    y   x   x   .   Ch  n B.  Ví d    6 :   Phương trình ti  p tuy  n c  a đ    th     3   2 4   1 =      + y   x   x   t  i đi    0 x   th  a mãn   (   ) 0   4    = f   x   là:  A.   3   1 = −   + y   x   B.   4   1 = −    y   x   C.   4   1 =    y   x   D.   4   1 = −   + y   x  L   T a có:   (   )   (   ) 2 3   8   6   8     =         =    f   x   x   x   f   x   x   . Gi  i   (   )   (   ) 0   0 4   2   7;   2   4     =      =      = −   = − f   x   x   y   f  Do đó phương trình tiếp tuyến là:   (   ) 4   2   7   4   1 = −         = −   + y   x   x   .   Ch  n D.

Bài toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số

CH       9: BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM TRÊN ĐỒ   TH      D  n y       dài, khoảng cách   m M thu    th    hàm s    (   )   (   ) (   ) 0   0 ; =    y   f   x   M   x   f   x   .     Kho  ng cách t     n tr  c   Ox b  ng:   (   )   (   ) 0 ;   = d   M Ox   f   x   .     Kho  ng cách t     n tr  c   Oy b  ng:   (   )   0 ;   = d   M Oy   x   .     Kho  ng cách t     ng th  ng   :   0    +   +   = ax   by   c   là:   (   )   (   ) 0   0 2   2 . ;   +   +    =   +  ax   b f   x   C d   M   a   b   .     Kho  m MN b  ng   (   )   (   ) 2   2     +    M   N   M   N x   x   y   y   .  Ví d    1:   Cho hàm s  :   (   )  2 1  + =     x y   C x   . Tìm điể m M thu  c   (   ) C   sao cho kho  ng cách t    M đến đườ ng th  ng  = − y   x b  ng   2   .  L  i gi  i  G    (   ) (   )  2 ;   ,   1 . 1  +                  a M   a   C   a a  Kho  ng cách t    M đến đườ ng th  ng   = − y   x là:   2 2 1   2   2   2   1 2  + +    =   =      +   =     a a   a d   a   a  (   ) (   )  2 2 2 0   0;   2 2   4   0   2   0   2   2;0 2   0  =              +   =       +   =       = −       +   =      a   M a   a   a   a   a   M a   a V  y t     m M c  n tìm là   (   ) 0;   2  M   ho  c   (   ) 2;0  M   .  Ví d    2:   Cho hàm s    (   )  2   1 1  + =     x y   C x   . G  m n    th    (   ) C   và   , H K   tương ứng là hình chiế u vuông góc c  a M trên các tr  c   Ox và   Oy   . Có bao nhiêu điể m M th  a mãn t    giác   MHOK   có diệ n tích b  ng 2.  A.   0.   B.   1.   C.   2.   D.   4.  L  i gi  i  G    (   )(   )  2   1 ;   1 1  +                  a M   a   C   a a   . T    giác   MHOK   là hình ch    nh  t. Ta có:   (   )   (   ) .   ;   .   ; =   = MHOK S   MH MK   d   M Ox   d   M Oy 2   2 2 2   2 1 2   2   2   2   2   0 2   1   2 .   2   2 1   1   2   2   2   2   3   2   0   2         = +   =         +   = +   +    =   =   =                       +   = −   +   +      =       = −   a a   a   a   a   a a   a   a a   a   a   a   a   a   a   a   aV  y   1 ; 4 2               M   ho  c   (   ) 2 :1  M   .   Chọ n C.  Ví d    3:   Cho hàm s    (   )  1 1      =     x y   C x   . Có bao nhiêu điể m   (   )  M   C      kho  ng cách t    M đến đườ ng th  ng :   2   1    =    y   x   b  ng   3 5   .  A.   0.   B.   1.   C.   2.   D.   4.  L  i gi  i  G    (   )(   )  1 ;   1 1                       a M   a   C   a a   . Ta có:   (   ) 1 2   1   3 1 : 2   1   0   ;   5   5  + +              =         =   =  a a   a x   y   d   M 2   2 2 2   2 1 2   2   2   3   3   2   5   5   0 2   2   2   3   1   2 2   2   2   3   3   2   1   0   1  a a   a   a   a   a a   a   a   a   a   a   a   a   a         =    +   =         +   =          +   =                       +   = −   +   +      =       = −  V  m M th  a mãn yêu c    Chọ n C. Ví d    4:   Cho hàm s    3   2   1 =      + y   x   x   . Tìm t  t c    các điể m M thu    th    hàm s    sao cho kho  ng cách t    M   n tr  c tung b  ng 1.  A.   (   ) 1;0 M   ho  c   (   ) 1; 2  M   .   B.   (   ) 0;1 M   ho  c   (   ) 2;   1  M   .  C.   (   ) 1;0 M   .   D.   (   ) 2;   1  M   .  L  i gi  i  Kho  ng cách t    M đế n tr  c tung b  ng 1, suy ra   (   ) (   )  1;0 1   0 1; 2 1   2   =      =         = −      =      M   M M   M M x   y M x   y  Chọ n A. Ví d    Cho hàm s    3   3 =    y   x   x   có đ    th    (   ) C   và    i  m   (   ) 1;   3  K   . Bi  t đi  m   (   ) ; M   x y   trên   (   ) C   th  a mãn  1  M x   và độ   dài   KM   nh    nh  ng th  ng   OM .  A.   2 . = y   x   B.   . = − y   x   C.   3 . = y   x   D.   2 . = − y   x  L  i gi  i   m   (   )   (   )   (   ) 3 ;   ;   3        M   x y   C   M   x x   x   v    1  x   . Ta có   (   )   (   )   (   )   2 2 3   3 1;   3   3   1   3   3 KM   x   x   x   KM   x   x   x =         +      =      +      +   . Đặ t   (   )   (   )   (   ) 2 2   3 1   3   3   . =      +      + f   x   x   x   x Xét hàm s    (   ) f   x   trên đoạ n   [   ) 1;    +∞   , ta có   (   )   (   )   (   )(   ) 2   3 2   1   6   1   3   3 ;   1.    =      +         +       f   x   x   x   x   x   x  Phương trình   (   )   (   )   (   )   (   ) (   )  3 0   1 . 1   3   1   3   3   0   1        =         +   +      +   =      =         g x f   x   x   x   x   x   x   vì   (   )   0;   1.        g   x   x

Bài toán tìm điểm trên đồ thị hàm số

CH       6: BI  N LU  N S    NGHI   II. CÁC D  I     D  ng 1: D  a vào b  ng bi    th       bi  n lu  n s    nghi  m c   Bài toán:   Bi  n lu  n s    nghi  m c    (   ) ;   0 F   x m   =   theo tham số   m   d    thị   hoặ c b  ng bi  a hàm s    (   ) y   f   x =   .  Phương pháp giải:     Bướ c 1:   Bi    (   ) ;   0 F   x m   =   v    d  ng   (   )   (   ) f   x   g m =   .     Bướ c 2:   V       thị   hoặ c b  ng bi  a hàm s    (   )(   ) y   f   x   C =   và đường thẳ ng   (   ) : d   y   g m =   ng   d   có đặc điể m vuông góc v    (   ) g m .     Bướ c 3:   D    thị   hoặ c b  ng bi  a hàm s       bi  n lu  n s    nghi  m c  cho.  Ví dụ   1:   Cho hàm số   4   2 2 y   x   x = −   +   có đồ   thị   như hình bên. Tìm tất cả  các giá trị   thự c c    m      phương trình   4   2 2 x   x   m    +   =   có b  n nghi  c phân bi   A.   0 m   >  B.   0   1 m      C.   0   1 m <   <  D.   1 m   <  L   S    nghi  m c    thuộc vào số   giao điể m c    thị   hàm s    4   2 2 y   x   x = −   +   và đường thẳ ng  y   m =   . D    suy ra phương trình đã cho có 4 nghiệ m khi   0   1 m <   <   .   Ch  n C.  Ví d    2:   [Đ    thi tham kh  o THPT QG năm 2019]   Cho hàm s    (   ) y   f   x =   có b   n thiên như sau  x      2    0   2   +∞  (   ) f   x       0   +   0      0   +  (   ) f   x   +∞   1   +∞ 2    2  S    nghi  c c    (   ) 2   3   0 f   x   +   =   là  A.   4   B.   3   C.   2   D.   1  L S    nghi  c c  a p hương trình   (   )   (   )   3 3   0   2  f   x   f   x    +   =      =   chính là s    giao điể m c    thị   hàm s   (   ) y   f   x =   và đường thẳ ng   3 2  y   = −   .   ng   3 2  y   = −   c    thị   hàm s    (   ) y   f   x =   tại 4 điể m phân bi   V    (   ) 2   3   0 f   x   +   =   có đúng 4 nghiệm thự c phân bi    Ch  n A.  Ví dụ   3:   Cho hàm số   3   2  y   ax   bx   cx   d =   +   +   +   có đồ   thị   trong hình bên.  H    3   2   1   0 ax   bx   cx   d +   +   +   +   =   có bao nhiêu nghiệm?  A.   Phương trình không có   nghi  m.  B.   Phương trình có đúng 1 nghiệ m.  C.   Phương trình có đúng 2 nghiệ m.  D.   Phương trình có đúng 3 nghiệ m.  L   S    nghi  m c    thuộc vào số   giao điể m c    thị   hàm s   (   ) 3   2  y   ax   bx   cx   d C =   +   +   +   và đường thẳ ng   1 y   = −   . D    thị   ta thấ y   (   ) C   c  ng   1 y   = −   tại 3 đi ể m phân bi   nghi  m.   Ch  n D.  Ví dụ   4:   Tìm tất cả   các giá trị   m      phương trình   3   3   2 x   x   m    =   có 3 nghi  m phân bi   A.   2   2 m    <   <   B.   1   1 m    <   <   C.   2   2 m          D.   1   1 m         L   Phương trình   3   3   2 x   x   m    =   là phương trình hoành độ   giao điể m c    thị   hàm s    3   3 y   x   x =      và đường thẳ ng   2 y   m =   . Phương trình có 3 nghiệ m phân bi    thị   có ba giao điể m. Khi     2   2   2   1   1 m   m    <   <      <   <   .   Ch  n B.

Bài toán biện luận số nghiệm phương trình

CH       7: BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ   TH   I. LÝ THUY  T TR   II. CÁC D  I    ng 1: Tìm t    giao điể m c  a   hai đồ   th   Phương pháp giải:  Cho 2 hàm s    ( ) y   f   x =   và   ( ) y   g x =   có đồ   th    l  t là   (   ) C   và   (   ) C    :     L    giao điể m c    (   ) C   và   (   ) C    là   ( ) ( )   ( ) f   x   g x =        Giải phương trình tìm x thay vào   ( ) f   x   ho  c   ( ) g x      suy ra y và tọa độ   giao điể m     S    nghiệ m c    ( )    là s    giao điể m c    (   ) C   và   (   ) C   Ví d    1:   [Đ    minh h  a THPT QG năm 20   17]   Bi  t r  ng đư  ng th  ng   2   2 y   x = −   +   c  t đ    3   2 y   x   x =   +   +   t  u   (   ) ; o   o x   y   là t    c    o y  A.   4 o y   =   B.   0 o y   =   C.   2 o y   =   D.   1 o y   = −  L   Phương trình hoành độ   giao điể m là:   3   3 2   2   2   3   0   0   2 x   x   x   x   x   x   y    +   =   +   +      +   =      =      = V    giao điể m là   (   ) 0; 2 .   Ch  n C.  Ví dụ   2:   Biết rằng đồ   th    hàm s    4   2 3   5 y   x   x =      +   và đường thẳng   9 y   =   c  t  (   )   (   ) 1   1   2   2 ;   , B   ;   . A x   y   x   y   Tính   1   2 x   x +  A.   1   2   3 x   x +   =   B.   1   2   0 x   x +   =   C.   1   2   18 x   x +   =   D.   1   2   5 x   x +   =  L   Phương trình hoành độ   giao điểm hai đồ   th    là: 2 1 4   2   4   2   2 1   2 2   2 2 1   2 3   5   9   3   4   0   4   0 2   2 4  x x   x x   x   x   x   x   x   x x   x x     = = −   =        +   =            =         =            +   =        = −   = − =          Ch  n B.  Ví d    H  i đ    th    c  a hàm s    3   2 2   1 y   x   x   x =   +      +   và đ    th    hàm s    2   3 y   x   x =      +   có t  t c    bao nhiêu đi  m  chung?  A.   0   B.   2   C.   1   D.   3  L   Phương trình hoành độ   giao điểm đồ   th    hai hàm số   là   3   2   2   3   2 2   1   3   2   0 x   x   x   x   x   x   x +      +   =      +      +      =  (   ) 2  (   1)   2   2   0   1   0   1. x   x   x   x   x       +   +   =         =      =   Suy ra hai đồ   th    có m    Ch  n C.  Ví d    4 : S    giao đi   a đ     hai hàm s    3   2 3   1 y   x   x =   +   +   và   4   3   3 y   x   x =   +      là  A.   1   B.   4   C.   3   D.   2L   Phương trình hoành độ   giao điểm đồ   th    hai hàm số   là   3   2   4   3   4   2 3   1   3   3   4   0 x   x   x   x   x   x +   +   =   +               = 2 2 2 1   2 4   2 4  x   x x   x x     = −   =        =             = − =       2 đồ   th    hàm s    có 2 giao điểm.   Ch  n D.  Ví dụ   5:   Tìm số   giao điể m c    th    hàm s   2   2   3 1  x   x  y   x     +  =      v    3   6 y   x =     A.   3   B.   0   C.   1   D.   2  L   Phương trình hoành độ   giao điể m c    th    (   ) C   và đường thẳng   (   ) d   là 2   2   3   3   6 1  x   x   x x     +   =      ( ) 2   2   2   2 1   0   1   1 2   3   (   1)(3   6)   2   3   3   9   6   2   7   3   0  x   x   x x   x   x   x   x   x   x   x   x   x                                       +   =            +   =      +      +   =        H    phương trình   ( )    (   ) C   c  t   (   ) d   t    Ch  n D.  Ví dụ   6:   Hoành độ   các giao điể m c    th    hàm s    (   )  2   1 2  x y   C x   =   +   và đường thẳng   :   2 d   y   x =      là  A.   1 3  x x  = −     =   B.   1 3  x x  =     = −   C.   1   6 1   6  x x     =   +    =       D.   1 3  x x  = −     = −   L   Phương trình hoành độ   giao điể m c    th    (   ) C   và   (   ) d   là   2 2 2   1   2 2   2   1   4  x x   x x   x   x       =       +      =     2 2 2   1 1   3 2   3   0   3  x x   x x   x x   x   x       = −             = −           =       =           =    .   Ch   Ví dụ   7:   Biết đường thẳng   3   4 y   x =   +   c    th    hàm s    4   2 1  x y   x  + =      t    1 y   và 2 y   . Tính   1   2 y   y +  A.   1   2   10 y   y +   =   B.   1   2   11 y   y +   =   C.   1   2   9 y   y +   =   D.   1   2   1 y   y +   =  L   Phương trình hoành độ   giao điểm hai đồ   th    là 2   1 2   0 4   2   3   4   2 1   1  x x   x x   x   x x   x  = −          =    +   =   +             =          Ta có:   1   1 1   2 2   2 1   1   11.  2   10  x   y   y   y x   y  = −   =           +   =     =   =      Ch  n B.

Bài toán tương giao giữa hai đồ thị

CH       5: NH  N D    TH    HÀM S   I. HÀM S    B  C BA:   3   2  y   ax   bx   cx   d =   +   +   +   (   ) 0 a     1. Gi  i h  o hàm và c  c tr   Gi  i h  n:  - V  i   0 a   >   thì lim  x   y     = +∞ và lim  x   y     = −∞ . - V  i   0 a   <   thì lim  x y     = −∞ và lim  x y   = +∞ .   o hàm và c  c tr  :   2 3   2 y   ax   bx   c    +   +   .   Khi đó:  - Hàm s    có hai điể m c  c tr    khi   0 y    có hai nghiệm phân biệ t   0 y      >   . G  i   (   ) 1   1 ; A x   y   và   (   ) 2   2 ; B x   y   là hai tọa độ    m c  c tr    thì theo định lý Viet ta có:  1   2 1   2 2 3 3  b x   x   a c x x   a      +   =       =   - Hàm s    không có cự c tr    khi   0 y    vô nghiệ m ho  m kép   0 y        Chú ý:    i v  i hàm s    bậc ba ta luôn có   > CÑ   CT y   y   và:  - N    0 a   >   thì   < CÑ   CT x   x   . - N    0 a   <   thì   > CÑ   CT x   x   .  2. B  ng bi  n thiên TH1:   Hàm s    có hai điể m c  c tr    1   2 , x   x   .  x      1 x   2 x   +∞  y    +   0      0   +  y    CÑ  CT  +∞  x      1 x   2 x   +∞  y       0   +   0     y   +∞  CT  CÑ   H    s    0 a   >   H    s    0 a   <  TH2:   Hàm s    không có điể m c  c tr   x      +∞  y   y    +∞  x      +∞  y   y   +∞   H    s    0 a   >   H    s    0 a   <3. Đồ   th    hàm s   0 a   >   0 a   <  0 y      >  < CÑ   CT x   x  > CÑ   CT x   x  0 y        4. Phương pháp giải toán     nhận diện đồ   th    hàm s    bậc ba:   3   2  y   ax   bx   cx   d =   +   +   +   (   ) 0 a      ta làm như sau:  Ta có   2 3   2 y   ax   bx   c    +   + D    lim  x y       xác định hệ   s    a   :  - N    0 a   >   thì nhánh cuố i c    th       ; x y   ti    vô cùng.  - N    0 a   <   thì nhánh cuố i c    th       x      và   y      . D  m v  i tr    (   ) 0;   d   suy ra tính chấ t c    s    d D    s     m c  c tr    c    th    hàm s    suy ra số   nghiệ m c    0 y   D    trí của các điể m c  c tr  , t    các điể m c  c tr    và các điểm mà đề   bài đã cho thuộc đồ   th   hàm s  .

Chuyên đề trắc nghiệm nhận dạng đồ thị hàm số

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Hàm Số Nâng Cao

Trang 0

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Nâng Cao

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
A – LÝ THUYẾT CHUNG
Cho hàm số y  f  x, m  , m là tham số, có taaph xác định D.
Hàm số f đồng biến trên D  f   0, x  D .
Hàm số f nghịch biến trên D  f   0, x  D .
Từ đó suy ra điều kiện của m.
1. Sử dụng GTLN, GTNN của hàm số trên tập D để giải quyết bài toán tìm giá trị của tham số để
hàm số đơn điệu.
Lí thuyết nhắc lại:
Cho bất phương trình:
f ( x, m)  0, x  D  f  x   g  m  , x  D  min f  x   g  m 
xD

Cho bất phương trình:

f ( x, m)  0, x  D  f  x   g  m  , x  D  min f  x   g  m 
xD

Phương pháp: Để điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên tập xác định (hoặc từng
khoảng xác định) của hàm số y  f ( x, m) , ta thực hiện các bước sau:
- Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số.
- Bước 2: Tính y . Để

Trắc nghiệm nâng cao hàm số – Đặng Việt Đông

Phá đư  ng dây Hàm s   - N  m ch  c lý thuy  t toán l  p 12 -   Tư duy nhanh các bài toán trắ c nghi  m - Phân tích sâu các l  i sai HS thư    - H    th  ng câu h  ng có ch  n l  c -    c theo thang 4 m   - Extra Techniques b    sung kinh nghi  m th  c chi   DÚI  TOÁN NHÓM  ANH  Nhóm toán anh Dúi  Nguy  n Thành Nhân  Phan Thành Tư  ng  Nhóm toán anh Dúi  Nguy  n Thành Nhân  Phan Thành Tườ ngNhóm toán anh Dúi   [ PHÁ ĐƯ  NG DÂY   HÀM S  ]  1   [   I can't , I can! ]

Phá đường dây hàm số

ST&BS: Th.S Đ  ng Vi  t Đông Trư  ng THPT N ho Quan A   Hàm S    Và    ng D  ng Đ  o Hàm  File Word liên h  : 0978064165   -   Email:   dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com   Trang   1  Facebook: https://www.facebook.com/dongpayST&BS: Th.S Đ  ng Vi  t Đông Trư  ng THPT N ho Quan A   Hàm S    Và    ng D  ng Đ  o Hàm  File Word liên h  : 0978064165   -   Email:   dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com   Trang   2  Facebook: https://www.facebook.com/dongpay  HÀM S    VÀ    NG D  NG Đ  O HÀM  CH        1:   TÍNH ĐƠN ĐI  U  D  ng 1:   Lý thuy  t v    tính đơn đi  u c  a hàm s   D  ng 2:   Nh  n d  ng BBT, nh  n d  ng hàm s   D  ng 3:   Xét tính đơn đi  u c  a hàm s    (Bi  t       th  , BBT)  D  ng 4:   Xét tính đơn đi  u c  a hàm s    (bi  t y, y’)  D  ng 5:     u ki  n đ    hàm s    b  c ba đơn đi  u trên kho  ng K  D  ng 6:     u ki  n đ    hàm s    -   nh  t bi  n đơn đi  u trên kho  ng K  D  ng 7:     u ki  n đ    hàm s    trùng phương đơn đi  u trên kho  ng K  D  ng 8:     u kiên đ    hàm s    phân th  c (khác) đơn đi  u trên kho  ng K  D  ng 9:     u ki  n đ    hàm s    lư  ng giác đơn đi  u trên kho  ng K  D  ng 10:     u ki  n đ    hàm s    vô t  , hàm s    khác đơn đi  u trên K  D  ng 11:    ng d  ng phương pháp hàm s    vào đ  i s   CH        2:   C  C TR   D  ng 1:   D  ng toán khác v    c  c tr   D  ng 2:   Lý thuy  t v    c  c tr    c  a hàm s   D  ng 3:   Nh  n d  ng BBT, nh  n d  ng hàm s   D  ng 4:     m s      m c  c tr    (Bi  t đ    th  , BBT)  D  ng 5:     m s      m c  c tr    (Bi  t y, y’)  D  ng 6:   Tìm c  c tr  , đi  m c  c tr    (Bi  t đ    th  , BBT)  D  ng 7:   Tìm c  c tr  , đi  m c  c tr    (Bi  t y,y’)  D  ng 8:     u ki  n đ    hàm s    có c  c tr   D  ng 9: D  ng 1:     u ki  n đ    hàm s    có c  c tr    t  i xo (c    th  )  D  ng 10:     u ki  n đ    hàm s    có c  c tr  , kèm gi    thi  t (theo x)  D  ng 11:     u ki  n đ    hàm s    có c  c tr  , kem   gi    thi  t (theo y)  D  ng 12:     ng th  ng n  i 2 đi  m c  c tr    (đ    th    hàm s    b  c ba)  D  ng 13:     ng th  ng n  i 2 đi  m c  c tr    (đ    th    hàm phân th  c)  D  ng 14:     u ki  n hình h  c v    2 đi  m c  c tr    (hàm b  c ba)  D  ng 15:     u ki  n hình h  c v    tam giác c  c tr    (hàm   trùng phương)  D  ng 16:   Câu h  i t  ng h  p v    tính đơn đi  u và c  c tr   CH        3:   MAX   -   MIN  D  ng 1:   Max - Min bi  t đ    th  , BBT  D  ng   2 :   Max - Min c  a hàm s      c trên đo  n [a,b]  D  ng 3 :   Max - Min c  a hàm s      c trên K  D  ng 4 :   Max - Min c  a hàm phân th  c trên đo  n [a,b ]  D  ng 5 :   Max - Min c  a hàm phân th  c trên K  D  ng 6 :   Max - Min c  a hàm s    vô t    trên [a,b]  D  ng 7 :   Max - Min c  a hàm lư  ng giác trên đo  n [a,b]  D  ng 8 :   Max - Min c  a hàm s    khác trên K  D  ng 9 :   Max - Min hàm s    ch  a d  u tr    tuy  t đ  i  D  ng 1 0 :   Max - Min c  a hàm s    dùng BĐT c      n

Chuyên đề hàm số – Đặng Việt Đông

0  L  I NÓI Đ  U  Cu  n   CÁC CHUYÊN Đ    LUY  N THI Đ  I H  C     c vi  t d  a trên tinh th  n  mong mu  n có m  t cu  n tài li  u ôn thi h  u ích t  ng h  p và đ  y đ    các phương pháp gi  i   các  d  ng toán trong c  u trúc đ    thi TSĐH c  a B    giáo d  c và đào tào     ng th  i   phát tri  n tư   duy  gi  i toán   c  a   h  c sinh . Đây là tâm huy  t c  a tác gi    và là mong mu  n th  i h  c sinh c  a tác  gi  . M  c tiêu c  a cu  n tài li  u là cung c  p các d  ng toán thông qua các chuyên đ  , m  i d  ng  toán s      c tác gi    tóm lư  c phương pháp gi  i kèm theo h    th  ng bài   t  p m  u và bài t  p đ   ngh    hay và phong phú , m  i bài toán đ  u ch  a tính   sá ng t  o   ch  c ch  n   s    làm b  n đ  c th  y  thú v    và đam mê.   Vì th    không đ    h  i các b  n ph  i nh    phương pháp gi  i m  i d  ng toán mà  phát tri  n tư duy toán h  c c  a b  n đ  c, v  i bài toán   c    th    b  n đ  c s    tìm     c cách gi  i  nào. Mong mu  n       là tài li  u h  u ích cho b  n đ  c nh  ng ai th  c s     a n g ư  c mơ bư  c  chân vào cánh c  a   gi  ng đư  ng đ  i h  c. Cu  n tài li  u này đư  c vi  t theo 15 chuyên đ  :  Chuyên đ    1:   Kh  o sát hàm s    và các bài toán liên quan.  Chuyên đ    2:     u ki  n đ    phương tr       h    phương tr   m.  Chuyên đ    3:   Phương tr    lư  ng giác.  Chuyên đ    4:   Phương tr   t phương tr    vô t  .  Chuyên đ    5:   H    phương tr   Chuyên đ    6:   Phương tr    b  t phương tr    h    phương tr    Chuyên đ    7:   Tích phân và    ng d  ng.  Chuyên đ    8:   Hình h  c không gian.  Chuyên đ    9:   Giá tr    l  n nh  t, giá tr    nh    nh  t và ch  ng minh b  t đ  ng th  c.  Chuyên đ    10:   Hình h  c gi  i tích trong m  t ph  ng.  Chuyên đ    11:   Hình h  c gi  i tích trong không gian.  Chuyên đ    12:   Ba đư  ng Cônic.  Chuyên đ    13:   Các bài toán v    s    ph  c.  Chuyên đ    14:   Nh    th  c Newto n và    ng d  ng.  Chuyên đ    15:   Các bài toán đ  m và s    cách ch  n t    h  p.  Xin đư  c bày t    lòng c  m ơn sâu s  c t  i s    giúp đ    và đ  ng viên tinh th  n c  a th  y cô, b  n  bè và gia đ   i gian hoàn thi  n cu  n s   Dù đ   t c    g  ng nhưng do h  n ch    v    th  i gian và ki  n th  c h  n ch    c  a tác gi  , c  ng v  i  ph  m vi r  ng c  a cu  n sách   nên th  t khó tránh kh  i các thi  u sót, tác gi    r  t mong nh  n1    c nh  ng ý ki  n đóng góp c  a b  n đ  c đ    trong th  i gian t  i có th    hoàn thi  n cu  n tài  li  u   m  t cách t  ng h  p và đ  y đ  , d    hi  u nh  t.  Hà n  i, ngày 31 tháng 5 năm 2012    NG THÀNH NAM

Chuyên đề hàm số và các bài toán liên quan – Đặng Thành Nam

TR  N TH  NG   Facebook: h  i toán b  c trung nam  M  I THÁNG M  T CH      CHUYÊN ĐỀ :   NG D  NG C  O HÀM VÀ KH    TH    HÀM S   Qu  ng Nam, tháng 11   năm 2016 1TR  N TH  NG   Facebook: h  i toán b  c trung nam  M     u  Hàm s    là m  t trong nh  ng khái ni  n c  a toán h  ng trong  chương trình toán phổ   thông và là n  n t  ng c  a nhi  c khác nhau c  a toán h  c nói riêng và khoa h  c t    nhiên nói chung.      b  c cái nhìn t    hàm s  , trong bài vi  t tháng 11/2016 c  a h  i toán b  c trung nam tôi xin trình bày m  t s    v    cơ bả n v    hàm s  . Bài vi  c chia làm ba ph  n chính: Ph  n 1: Gi  i thi  u m  t s    khái ni  u, c  c tr  , ti  m c  n ...  Ph  n 2: T rình bày sơ đồ   kh  o sát và v       th    m  t s    hàm s    quen thu  c. Ph  n 3: Khái quát m  t s    d  ng toán quen thu  c v    hàm s    và các    ng d  ng.  Lưu ý bạn đọ c:   Trước khi đọ c hi  u bài vi  t này, b  c c  n n  m v   tính ch  n c  o hàm cùng v  i b  o hàm các hàm s    sơ cấp đượ c trình bày chi ti  t  trong chương trình toán THPT hiệ n hành. V  i h    th  ng bài t  p t    lu  n và tr  c nghi  m phong phú, hi v  ng bài vi  t này s    giúp ích cho b  c,    c bi  t là các b  n thí sinh trong k    thi THPT qu  c gia s  p t  i khi tìm hi  u v    hàm s  . Tuy v  y do nhi  u nguyên nhân khác nhau, bài vi  t không tránh kh  i nh  ng khi  m khuy  t, tác gi    r  t mong nh  c nh  ng ý ki  c gi       chuyên đề   ngày m  t hoàn thi    M  i ý ki  c gi    vui lòng g  i v     a ch    email: thongqna@gmail.com ho  c trang cá nhân facebook:   https://www.facebook.com/thong.tranvan.5203.  Qu   TR  N THÔNG 2